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DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
TANGENCIAS
PROBLEMAS DE APOLONIO
TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS
CONCEPTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
3518
18
18
35
Tc
T2
T4
T5
T3
O2
O3
T1
A
N
O
A´
C1
C2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Apolonio de Pérgamo (Pergamo, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.)
fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones
cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e
hipérbola, a las figuras que conocemos.
También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o
teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente
de los planetas y de la velocidad variable de la Luna.
Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones
cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.
Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.
Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias
tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio.
El problema aparece en su obra, hoy perdida,
Las Tangencias o Los Contactos,
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Dado tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto,
una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea
tangente a cada uno de los tres elementos dados
Este problema da lugar a 10 casos posibles y en alguno de ellos
aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular
En los siguientes casos nos referiremos al punto, la recta y la
circunferencia por sus iniciales:
P: punto
R: recta
C: circunferencia
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPP
Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
A
B
C
A
B
C
1. Trazamos las mediatrices de los
segmentos que forman dos parejas
de los puntos dados, en este caso
de AB y BC, y obtenemos el punto O
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPP
Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
O
A
O
B
C
2. Si hacemos centro en O y trazamos un
arco de radio OA, el arco pasará por los
tres puntos A, B y C
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPP
Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
A
O
B
C
Este procedimiento también se puede
utilizar a la inversa para encontrar el
centro desconocido de una
circunferencia dada.
Se trazan dos secantes y sus
mediatrices
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPP
Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
Trazamos las bisectrices
de los tres ángulos interiores que forman
las rectas, obteniendo el INCENTRO
de dicho triángulo.
Recuerda que el incentro es el centro
de la CIRCUNFERENCIA
INSCRITA en el triángulo, que es
TANGENTE a los lados del mismo
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
Antes de trazar la circunferencia
tenemos que encontrar los puntos de
tangencia de las rectas, que se hayan
trazando PERPENDICULARES A
LAS RECTAS DESDE EL INCENTRO
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
Una vez calculados los puntos de tangencia,
podemos trazar la circunferencia tangente
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
También hay otras tres soluciones fuera
del triángulo
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
Para ello debemos trazar las bisectrices
de los ángulos exteriores, que se cortan dos
a dos en los centros de las otras tres
soluciones
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
O1
O3
O2
Una vez hallamos los centros, buscamos los
puntos de tangencia
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
O1
O3
O2
Teniendo los puntos de tangencia,
podemos trazar las circunferencias.
Podemos comprobar que la prolongación
de las bisectrices de los ángulos interiores
pasan por los centros de las circunferencias
tangentes exteriores
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRR
Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
O1
O3
O2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
B
A
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
En primer lugar, sabemos que habrá dos
circunferencias solución que pasen por los
puntos A y B y a su vez sean tangentes
a la recta r.
También sabemos que los centros de estas
dos circunferencias se encontrarán
en la mediatriz de AB (ver caso PPP),
por tanto lo primero que hacemos
es la mediatriz entre A y B
B
A
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Trazamos la recta AB, que será el
EJE RADICAL DE las dos circunferencias
solución. prolongamos la recta AB hasta
que corta a la recta r en el punto P
B
A
r
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Trazamos la circunferencia auxiliar de
diámetro AB, para posteriormente calcular
los puntos de tangencia desde P
a dicha circunferencia
B
A
P
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Calculamos los puntos de tangencia
desde P a la circunferencia auxiliar
(consultar tangentes de un
punto a una circunferencia)
B
A
P
T1
T2
M
EDIATRIZ
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Trazamos la circunferencia de P a T1 y T2.
Esta circunferencia cortará a la recta r en los
puntos de tangencia T3 y T4, que son los
puntos de tangencia de la recta r con las
circunferencias que estamos buscando.
B
A
P
T1
T3 T4
T2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Desde T3 y T4 trazamos ambas
perpendiculares que cortarán a la mediatriz
de AB en los puntos O1 y O2, que son
los centros de las dos circunferencias
solución
B
P
O1
O2
A
T1
T3 T4
T2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
PPR
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta
Desde T3 y T4 trazamos ambas
perpendiculares que cortarán a la mediatriz
de AB en los puntos O1 y O2, que son
los centros de las dos circunferencias
solución
B
P
O1
O2
A
T1
T3 T4
T2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
r1
Este ejercicio tiene dos soluciones:
1: Por POTENCIA, convirtiendo el problema
en un problema de PPR
2: Por HOMOTECIA
P
r2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1 1. Sabemos que si las circunferencias
resultantes han de ser tangentes al
ángulo sus centros estarán en la
bisectriz del mismo, por tanto
trazamos la bisectriz del ángulo
que forman las dos rectas.
Si cabe en el papel se prolongan
las rectas hasta que corten,
si no se aplica cualquiera de los
procedimientos que ya conocemos
para cuando no se ve el vértice
s
r
A
B
P
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
2. Trazamos una perpendicular a la
bisectriz desde el punto P
P
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
3. Hallamos el punto simétrico a P
respecto a la bisectriz de las dos rectas
P
A
Q
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
4. Trazamos la circunferencia auxiliar de
diámetro PQ. De esta manera vamos a
resolver el problema como en el
caso anterior de PPR.
Nos olvidamos de r1 y resolvemos
el problema entre r2, P y Q.
(consultar caso anterior PPR)
P
A
Q
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
5. La recta que pasa por PQA será el
eje radical de las circunferencias
resultantes.
Ahora, trazamos los puntos de tangencia
de las tangentes desde el punto A
a la circunferencia auxiliar
P
Q
T1 T2
A
r2
MEDIATRIZ
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
r2
6. Trazando el arco At1 conseguimos
T3 y T4, puntos de tangencia
de las circunferencias que buscamos
P
Q
T1
T3
T4
T2
A
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
r2
7. Alzamos dos perpendiculares en r2
desde T3 y T4, que cortarán a la
bisectriz en O1 y O2, que serán los
centros de las circunferencias soluciónP
Q
T1
T3
O1 O2
T4
T2
A
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR
r1
r2
8. Calculanos los otros dos puntos de
tangencia y trazamos las circunferencias
solución
P
Q
T1
T3
O1 O2
T4
T2
A
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
P
1. Trazamos la bisectriz del ángulo
que forman las dos rectas.
DOS CIRCUNFERENCIAS SON
SIEMPRE HOMOTÉTICAS
Sus centros están alineados con el centro de
homotecia y sus radios homotéticos
(que se trazan desde las intersecciones
de las circunferencias con rectas secantes
concurrentes en el centro de homotecia)
son paralelos.
r1
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
P
2. Trazamos una circunferencia auxiliar
tangente a las dos rectas
r1
r2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
P
r1
r2
3. Trazamos una recta que pase por el
vértice del ángulo y el punto P
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
4. Dicha recta produce en la circunferencia
auxiliar los puntos 1 y 2, desde los cuales
trazamos dos radios de dicha
circunferencia
1
2
r1
r2
P
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
O1 O2
r1
r2
5. Desde el punto P trazamos paralelas
a los radios trazados en el paso anterior.
Estas paralelas cortan a la bisectriz en
los centros de las circunferencias
solución, O1 y O2
1
2
P
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
O1 O2
r1
T1
T4
T3
T2
r2
6. Hallamos los puntos de tangencia
1
2
P
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA
P
O1 O2
r1
r2
7. Trazamos las circunferencias
1
2
T1
T4
T3
T2
RRP
Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
POR DILATACIÓN
Para resolver este problema lo reduciremos
a un problema de PRR.
Lo haremos DILATANDO el ángulo
formado por las rectas y convirtiendo
la circunferencia en un punto para encon-
trar las dos circunferencias tangentes
exteriores a la dada y a las rectas.
Posteriormente, CONTRAEREMOS EL
ÁNGULO para obtener las dos circunfe-
rencias tangentes interiores.
Las soluciones las podemos obtener por
homotecia o por potencia
r1
r2
O
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r1'
r2'
r2
r
O
r
r
1. Contraemos la circunferencia dada
reduciéndola a un punto (su centro)
y dilatamos las rectas r1 y r2
trazando paralelas a una distancia
igual al radio de la circunferencia
dada. Ahora nos quedamos con
el punto O y las nuevas rectas r1' y r2'
y resolvemos el problema como
si fuera PRR
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r1'
r2'
r2
O
2. Si lo resolvemos por homotecia, lo
primero que hacemos es trazar la
bisectriz del ángulo y trazar una cir-
cunferencia auxiliar que sea tengente
a r1' y r2'
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r1'
r2'
r2
O
3. Trazamos la recta que une el vértice del
ángulo dilatado con el centro O de
la circunferencia dada.
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r1'
r2'
r2
O
O1
O2
4. Trazamos los radios de la circunferencia
auxiliar que van a la intersección de la recta
trazada anteriormente con dicha circunferencia,
y posteriormente las paralelas a estos radios
por O. Así obtenemos los centros O1 y O2
de las circunferencias tangentes externas
a la dada y a las rectas
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r1'
r2'
r2
O
O1
T1
T4
T3
T2
O2
5. Trazamos las dos primeras
circunferencias solución
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
Ahora tenemos que hallar las otras
dos circunferencias solución, las
tangentes internas. Para ello, comen-
zaremos por CONTRAER EL ÁNGULO
con la misma distancia del radio de la
circunferencia auxiliar
r1
r2
O
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
r1
r2
r
r
r
1. Una vez contraído el ángulo con la
medida del radio, nos quedamos con un
problema de RRP (r1,r2,O), ya que la
circunferencia la reducimos a un
punto, el centro O
O
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
2. En este caso, vamos a realizar la solución
por potencia/eje radical. Comenzamos por
trazar la bisectriz
r1
r2
O
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
3. Trazamos una perpendicular
de O a la bisectriz
r1
r2
O
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
4. Trazamos el simétrico P de O
respecto a la bisectriz, y la circun-
ferencia auxiliar de diámetro OP
r1
r2
O
P
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
5. Ahora hallamos los puntos de
tangencia del punto Q a la
circunferencia auxiliar, A y B
r1
r2
O
P
BA
Q
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
6. Trazamos el arco con centro
en Q y radio QA o QB, que corta
a la recta r2 en los puntos 1 y 2,
que serían los puntos de
tangencia de las soluciones en
caso de que el ángulo dado
fuera r1'r2'.
r1
r2
O
P
BA
1
2Q
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
7. Trazamos perpendiculares a r2'
en los puntos 1 y 2. De esta forma,
obtenemos los centros O3 y O4
de las circunferencia solución en
la bisectriz, y los puntos de
tangencia T5 y T6 sobre la
recta r2
r1
r2
O
P
BA
1
2Q
O3 O4
T5
T6
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
8. Calculamos los puntos
de tangencia T7 y T8 en
r1 y trazamos las dos
circunferencias solu-
ción que buscábamos
r1
r2
O
P
BA
1
2Q
O3 O4
T5
T7
T8
T6
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
8. Calculamos los puntos
de tangencia T7 y T8 en
r1 y trazamos las dos
circunferencias solu-
ción que buscábamos
r1
r2
O
P
BA
1
2Q
O3 O4
T5
T7
T8
T6
r1''
r2''
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CRR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas
Estas serían las cuatro
soluciones del problema
r1
r1''
r2''
r2
O
P
BA
1
2Q
O3 O4
T5
T7
T8
T6
r1
r1'
r2'
r2
O
O1
T1
T4
T3
T2
O2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
Este problema lo resolveremos
por POTENCIA.
Hallaremos un eje radical auxiliar
que nos ayudará a encontrar el
centro radical de la circunferencia
del enunciado y las dos de la
solución
O
P
Q
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
1. Trazamos la recta que pasa
por los dos puntos P y Q, y
hallamos la mediatriz del
segmento que pasa por ambos
puntos, ya que sobre esta mediatriz
estarán los centros de las
soluciones
O
P
Q
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
2. Trazamos una circunferencia
auxiliar con centro en la mediatriz
de PQ y que pase por ambos
puntos
O
P
Q
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
3. Trazamos el eje radical entre
la circunferencia dada y la auxiliar,
que corta a la recta que pasa por
P y Q en el centro radical Cr de las
circunferencias solución con la dada
O
P
Cr
Q
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
4. Hallamos los puntos de tangencia
T1 y T2 de las rectas tangentes
exteriores desde Cr a la circungferen-
cia dada O. Estos puntos serán los
puntos de tangencia de las
soluciones finales.
O
P
T1
Cr
Q
T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
5. Unimos T1 y T2 con el centro
O de la circunferencia dada, y
ambas rectas cortarán a la mediatriz
de PQ en O1 y O2, centros de
las circunferencias solución.
O
O1
P
T1
Cr
Q
T2 O2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
6. Trazamos las circunferencias
solución
O
O1
O2
P
T1
Cr
Q
T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
Si el problema tuviera uno de
los puntos en la circunferencia
la solución hubiera sido más
fácil y rápida de ejecutar
O
Q
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
La solución sería una única circun-
ferencia que tendría su centro en la
intersección de la mediatriz que
une los dos puntos con la recta que
une el centro de la circunferencia y
el punto que está en la misma (Q)
O
O1
Q
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPP
Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia
La solución sería una única circun-
ferencia que tendría su centro en la
intersección de la mediatriz que
une los dos puntos con la recta que
une el centro de la circunferencia y
el punto que está en la misma (Q)
O
O1
P
Q
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
Aunque se puede resolver por
otros métodos, aquí se va
a desarrollar mediante
INVERSIÓN.
De las cuatro circunferencias
solución, primero haremos
dos mediante una inversión
positiva,
y luego las otras dos por una
inversión negativa
O
O
O
P
P
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.1. Trazamos una perpendicular a la
recta dada que pase por el centro
de la circunferencia.
Situamos en el extremo superior el
centro de inversión O1, siendo el
otro extremo del diámetro el punto
A, y A’, situado en la recta, su inverso.
De esta forma, hemos convertido
la recta r en la inversa de la
circunferencia
O
A’
A
O1
r
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.2. Hallamos el inverso de P. Para
ello, trazamos una circunferencia
auxiliar O2 que pase por A, A’ y
por P, por lo tanto tendrá centro
en las mediatrices de AP y AA’
O
A’
A
O1
r
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.3. Trazamos la recta OP, que
cortará a la circunferencia auxiliar
en P’, inverso de P
O
P’
P
A’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.4. A partir de ahora el problema
se convierte en PPR.
PP’ es un eje radical auxiliar que
corta a la recta dada r en Cr
O
P’
P
CrA’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.5. A continuación, necesitamos
una circunferencia auxiliar que
pase por P y P’. Como ya tenemos la
circunferencia auxiliar trazada anterior-
mente podemos utilizarla.
Desde Cr hallamos los puntos de
tangencia 1 y 2 de las rectas tangen-
tes a dicha circunferencia auxiliar
O
P’
1
2
P
CrA’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.6. Trazamos el arco con centro
en Cr y radio Cr1 o Cr2.
Así obtenemos los puntos T1 y T2,
puntos de tangencia de las dos
circunferencias tangentes que
buscamos.
O
P’
1
2
P
Cr T2T1 A’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.7. Ahora que tenemos T1 y T2
volvemos al problema inicial y a sacar
los puntos inversos de T1 y T2
respecto de la circunferencia dada.
Para ello unimos T1 y T2 con O1,
y donde ambas rectas corten a
la circunferencia dada tendremos
T3 y T4
O
P’
1
2
P
Cr T2T1
T3
T4
A’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.8. Teniendo los puntos de tangen-
cia y el punto P, calculamos los cen-
tros de las circunferencias solución.
Donde se corten las mediatrices
de T3T1 y T3P tendremos un centro
(O2), y donde se corten las mediatri-
ces de T4P y T2P tendremos
el otro (O3)
O
P’
1
2
PO2
O3
Cr T2T1
T3
T4
A’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0
1.9.Trazamos las circunferencias
O
P’
1
2
PO2
O3
Cr T2T1
T3
T4
A’
A
O1
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
Ahora, mediante una inversión
negativa, trazaremos las dos
circunferencias solución que
nos quedan
2.1. En primer lugar, trazamos
una perpendicular a r que pase
por el centro de la circunferencia.
Con esto ontendremos el centro
de inversión O’, el punto A y
su inverso A’. Así, la recta r es la
inversa de la circunferencia dada.
r
A’
O’
A
O
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
r
A’
O’
A
O
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
2.2. Hallamos el inverso de P.
Para ello, en primer lugar
trazamos una circunferencia
auxiliar que pase por AA’P. La
trazamos con centro en la
intersección de las mediatrices
de AP y PA’.
P
P’
Cr
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
r
A’
O’
A
O
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
2.2. Hallamos el inverso de P.
En segundo lugar, trazamos la recta
PO’, que cortará a la circunferencia
auxiliar en P’, inverso de P.
A partir de ahora el problema se
convierte en PP’R.
PP’ es el eje radical auxiliar
que corta a la recta r en el centro
radical auxiliar Cr
PPP
P’
Cr
1
2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
r
A’
O’
A
O
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
2.3. Necesitamos una circunferencia
auxiliar que pase por PP’, pero ya
la tenemos.
Hallamos los puntos de tangencia 1 y 2
de las rectas tangentes desde Cr hasta
la circunferencia auxiliar.
P
P’
Cr
1
2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
r
A’
O’
A
O
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
2.4. Trazamos el arco Cr1 o Cr2, que
cortará a la recta r en los puntos
T5 y T6, puntos de tangencia de las
dos circunferencias que estamos
buscando
P
T5 T6
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto
exterior a ambas
2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0
2.5. Ahora regresamos al problema
inicial para aprovechar la inversión
y calcular los inversos de T5 y T6
sobre la circunferencia dada.
Alineamos T5 y T6 con O’, y donde
estas líneas cortan a la circunferencia
dada tenemos los puntos de
tangencia T7 y T8
P’
Cr
1
2
r
A’
O’
A
O
P
T5 T6
T6
T6
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta,
que pasan por un punto exterior a ambas
r
2. INVERSIÓN
NEGATIVA. K 0
2.6. Alineando los
puntos de tangencia
T7 y T8 con el centro
de la circunferencia
dada y trazando per-
pendiculares a r por
los puntos T5 y T6 ha-
llamos los centros de
las circunferencias
solución (O4 y O5)
P’
Cr
1
2
r
A’
O’
A
O
P
T5 T6
T7
T8
O4
O5
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta,
que pasan por un punto exterior a ambas
2. INVERSIÓN
NEGATIVA. K 0
2.6. Alineando los
puntos de tangencia
T7 y T8 con el centro
de la circunferencia
dada y trazando per-
pendiculares a r por
los puntos T5 y T6 ha-
llamos los centros de
las circunferencias
solución (O4 y O5)
r
P’
Cr
1
2
r
A’
O’
A
O
P
T5 T6
T7
T8
O4
O5
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta,
que pasan por un punto exterior a ambas
Estas serían
las cuatro
soluciones
r
P’
Cr
1
2
r
A’
O’
A
O
P
T5 T6
T7
T8
O4
O5
O2
O3
T3
T4
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR INVERSIÓN
Cuando el punto de tangencia
está sobre la recta, el problema
se simplifica mucho.
Ahora el punto inverso se
encontrará sobre su
transformada (recta o
circunferencia) lo cual hace
posible resolverlo con
pocos trazados
T
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1. El problema tendrá dos soluciones,
y ambas se encontrarán sobre una
perpendicular a la recta dada que
salga del punto T de tangencia.
O
T
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Ahora tenemos que aplicar dos
inversiones:
Una INVERSIÓN POSITIVA para
conseguir la circunferencia tangente
exterior, y una
INVERSIÓN NEGATIVA para
conseguir la circunferencia
tangente interior.
2. Comenzamos por la INVERSIÓN
POSITIVA:
Situamos el centro de inversión (O1)
en el extremo superior del diámetro
perpendicular a la recta
O
O1
T
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
3. Trazamos la recta OT y así obtene-
mos T’, inverso de T.
O
O1
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
4. Uniendo O con T’ obtenemos O2,
centro de la primera circunferencia
solución, en la intersección de dicha
recta con la perpendicular en T
O
O2
O1
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
5. Con radio O2T trazamos la
primera solución
O
O2
O1
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
6. Ahora hacemos la INVERSIÓN NE-
GATIVA para hallar la circunferencia
tangente interna.
En primer lugar situamos el centro
de inversión O3 en el extremo inferior
del diámetro perpendicular a la recta.
O
O2
O1
O3
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
7. Uniendo T con O3 cortamos la
circunferencia en el punto T’’,
inverso de T y punto de tangencia
de la circunferencia solución
O
O2
O1
O3
T’’
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
8. Uniendo T’’ con O cortaremos
la perpendicular de T en O4, centro de
la circunferencia que buscamos
O
O2
O4
O1
O3
T’’
T
T’
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
9. Con radio O4T trazamos la
segunda circunferencia solución
O
O2
O4
O1
O3
T’’
T
T’
r
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
1. La perpendicular por el punto
T dado a la recta contiene los
centros de todas las circunferen-
cias tangentes a la recta por el
punto dado
T
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
2. Trazamos una circunferencia auxiliar
con centro en la perpendicular a r
y que pase por T
T
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
3. Trazamos el eje radical de ambas
circunferencias, obteniendo sobre r
un centro radical auxiliar Cr.
T Cr
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
4. hallamos los puntos de tangencia
de las rectas tangentes a la circun-
ferencia dada desde Cr
T Cr
T1
T2
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
5. Trazamos el arco con centro en
Cr y radio CrT1 o CrT2
T
T
Cr
T1
T2
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos
los centros de las circunferencias
solución sobre la perpendicular tra-
zada desde el punto T a la recta r
T
T
Cr
T1
T2
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
O4
O2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
POR POTENCIA
6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos
los centros de las circunferencias
solución sobre la perpendicular tra-
zada desde el punto T a la recta r
T
T
Cr
T1
T2
O
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto
de tangencia en dicha recta
r
POR POTENCIA
O4
O2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
8. Con radio O4T trazamos la
segunda circunferencia solución
Igual que en el caso anterior,
aplicaremos dos inversiones:
Una INVERSIÓN POSITIVA para
conseguir la circunferencia tangente
exterior, y una
INVERSIÓN NEGATIVA para
conseguir la circunferencia
tangente interior.
O
T
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
1. Comenzamos por la INVERSIÓN
POSITIVA:
Situamos el centro de inversión (O1)
en el extremo superior del diámetro
perpendicular a la recta
O
O1
T
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
2. Trazamos la recta O1T hasta
cortar la recta r en el punto T’, inverso
de T y punto de tangencia de una
solución
O
O1
T
T’
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
3. Levantamos la perpendicular a r
desde T’, porque sabemos que en
esa recta estará el centro de
una de las soluciones
O
O1
T
T’
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
4. Uniendo O con T cortamos la perpen-
dicular en O2, centro de la primera
solución
O
O1
T
T’
O2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
5. Trazamos la circunferencia
O
O1
T
T’
O2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
6. Para la Segunda solución, hacemos
una INVERSIÓN NEGATIVA.
Situamos el centro de inversión (O3)
en el extremo inferior del diámetro
perpendicular a la recta.
O
O1
O3
T
T’
O2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
7. Uniendo T con O3 obtenemos T’’, inver-
so de T en la recta r, y punto de tangencia
de la solución que buscamos.
O
O1
O3
T
T’ T’’
O2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
8. trazamos la perpendicular en T’’
O
O1
O3
T
T’ T’’
O2
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
9. Prolongamos la recta TO hasta
cortar en la perpendicular anterior,
y ya tenemos el centro O4, centro
de la solución que queremos
O
O1
O3
T
T’ T’’
O2
O4
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
10. Trazamos la circunferencia.
O
O1
O3
T
T’ T’’
O2
O4
r
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
O
T
r
POR POTENCIA
1. Trazamos la recta que pasa por,
O y T, ya que en ella estarán los
centros de las soluciones
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
O
T
r
POR POTENCIA
2. Trazamos una perpendicular a la
recta anterior. Esta recta es un eje
radical que corta a la recta dada en Cr
Cr
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
O
T
r
POR POTENCIA
3. Con centro en Cr y radio CrT,
trazamos un arco que corta la recta
en T1 y T2, que serán los puntos
de tangencia de las soluciones
sobre la recta
CrT1 T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia
O
T
r
POR POTENCIA
4. Levantamos dos perpendiculares,
una en T1 y otra en T2, que cortarán
a la recta que une O-T en O1 y O2,
centros de las soluciones
CrT1 T2
O2
O4
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O
T
r
4. Levantamos dos perpendiculares,
una en T1 y otra en T2, que cortarán
a la recta que une O-T en O1 y O2,
centros de las soluciones
CrT1 T2
O2
O4
CPR
Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el
punto de tangencia en la circunferencia POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Este problemas se soluciona
por INVERSIÓN.
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
O1
O2
P
Las soluciones serán dos
circunferencias tangentes, una
exterior y otra interior
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
1. Unimos los centros de
ambas circunferencias
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
O1
O2
P
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
B’
2. Buscamos en dicha recta
el centro de inversión positi-
va O,que coincide con el cen-
tro de homotecia directa
(que se obtiene trazando dos
radios homotéticos que son
paralelos y trazando la recta
que une los puntos homotéticos
de ambas circunferencias
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
A’
P
A
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
A’B’
3. Hallamos el inverso de P.
Para ello, trazamos una circun-
ferencia auxiliar que pase
por A,A’,P (el centro lo calcula-
mos con las mediatrices de
A’A y AP)
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
A
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
A’B’
3. Hallamos el inverso de P.
Una vez hemos trazado la cir-
cunferencia auxiliar, unimos P
con el centro de inversión O
y obtenemos P’, inverso
de P
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
A
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
A’B’
4. Ahora el problema se puede
resolver como si fuera CPP’.
OPP’ será el eje radical de
las soluciones.
Trazando una circunferencia
que pase por P y P’ y sea
secante a la circunferencia
dada (por ejemplo, la que
hemos trazado anterior-
mente valdría)
obtenemos otro eje radical
auxiliar que en su intersección
con el eje radical anterior
nos da el centro radical de
las soluciones.
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
Cr
A
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
A’B’
5. A partir de Cr hallamos los
puntos de tangencia T1 y T2de
las rectas tangentes a una de
las dos circunferencias dadas.
T1 y T2 serán puntos de
tangencia de las soluciones
que buscamos
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
Cr
A
T1
T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
O1O
O2
A’B’
6. Ahora volvemos al problema
inicial para obtener, por
inversión, los restantes puntos
de tangencia (con la otra cir-
cunferencia).
Primero alineamos T1 y T2
con el centro de inversión O,
y obtenemos los puntos de
tangencia T3 y T4 al cortar
a la otra circunferencia
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
Cr
T4
A
T1
T2
T3
O1O
O2
O4
A’B’
7. Alineando T1 y T2 con O2
(o T3 y T4 con O1) obtene
mos los centros que buscamos
O3 y O4 en la intersección
que ambas rectas hacen con la
mediatriz de P y P’ .
En este caso el centro O3 se saldría
del formato utilizado. Quedaría así:
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
Cr
T1
T2
T4
A
T3
O3
O1O
O2
O4
A’B’
P
P’
Cr
T1
T2
T3
T4
A
O3
O3
O3
O3
O1O
O2
A’B’
P
P’
Cr
T1
T2
T3
T4
A
O1O
O2
O4
A’B’
8. Teniendo los centros,
trazamos las circunferencias
tangentes.
En este caso el centro O3 se saldría
del formato utilizado. Quedaría así:
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas
P
P’
Cr
T1
T2
T3
T4
A
O3
O3
O3
O3
O3
O4
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
Aplicaremos INVERSIÓN POSITIVA
para la circunferencia externa e
INVERSIÓN NEGATIVA para la
circunferencia iunterna
POR INVERSIÓN
O2
T
O1
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
1. En primer lugar, trazamos las rectas
que unen O1T y O1O2
POR INVERSIÓN
O2
T
O1
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
2. Hallamos T’ mediante una
inversión positiva de centro O
(centro de homotecia directa)
O2
T
T’
O1
O
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencia tangente a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
3. Uniendo O2 con T’ obtenemos O3,
centro de la primera solución
que buscamos
O2
T
T’
O1
O3
O
POR INVERSIÓN
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
O2
T
O1
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
1. Unimos O con T y trazamos
una perpendicular a O1 en el
punto T
O2
T
O1
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
2. trazamos una circunferencia auxiliar
que tenga el centro en la prolongación
de O1T y sea tangente a O O1 en T
e interseccione con O2
O2
T
O1
POR POTENCIA
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
3. Hallamos el eje radical entre la
auxiliar y O2, que al interseccionar
con el eje radical trazado en T,
nos dará el centro radical Cr de las
circunferencias solución
O2
T
O1
POR POTENCIA
Cr
T1
T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
4.Hallamos los puntos de tangencia
entre Cr y O2, y luego trazamos
el arco con centro en Cr que cortará
a la circunferencia O2 en T1 y T2
O2
T
O1
POR POTENCIA
Cr
T1
T2
PROBLEMAS DE APOLONIO
DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
CCP
Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas
O2
T
O1
O3
POR POTENCIA
Cr
T1
T2
5. Uniendo O1 y O2 con los puntos de
tangencia, obtendremos los centros
que buscamos.
En este caso, uno de los centros se nos
va bastante lejos de los límites del papel
O2
T
O1
O3
O4
Cr
T1
T2
Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q
C
Q
P
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q
1. Dibujamos una circunferencia de centro E, secante a la circunferencia C
y que pase por P y Q. Dicha circunferencia corta a la dada en los puntos A y B
C
E
B
A
Q
P
D.T. 2º Bach. TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA 1DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q
2. Calculamos Cr, centro radical de todas las circunferencias que pasan por P y por Q,
entre las que estarán las soluciones, y la dada de centro C
C
E
Q
P
B
A
Cr
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q
3. Desde Cr se trazan las rectas tangentes a la circunferencia de centro C,
y los puntos de tangencia T1 y T2 son, también, los puntos de tangencia de las
circunferencias solución con la dada
C
E
Cr
T2
T1
Q
P
B
A
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q
4. Los centros de las soluciones O1 y O2 se encuentran donde las rectas T1C y T2C
cortan a la mediatriz del segmento PQ
C
E
Cr
T2
O1
O2
T1
Q
P
B
A
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
Tr
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
Tr
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
1. Los centros de las circunferencias solución pertenecen a la perpendicular por Tr a la recta r
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
E
A
B
Tr
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
2. Se traza una circunferencia auxiliar de centro E, tangente a r en Tr.
Dicha circunferencia cortará a la dada en dos puntos A y B
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
E
A
B
Tr
Cr
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
3. Con ayuda de E, calculamos el centro radical Cr del haz de circunferencias
tangentes a r en T1, y de la de centro C dada. Cr debe pertenecer a r
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
E
A
B
Tr
CrT1
T2
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
4. Una vez tenemos Cr, trazamos las tangentes a la circunferencia C y obtenemos
los puntos de tangencia T1 y T2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
E
A
B
Tr
Cr
O2
O1
T1
T2
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular
que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
C
E
A
B
Tr
Cr
O2
O1
T1
T2
r
Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r,
siendo Tr el punto de tangencia de esta
5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular
que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
30º
120º
r
s
56 36
20
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
30º
120º
r
s
56
28
85
36
20
1. Posicionamos los centros A y B de las dos circunferencias iniciales.
ten en cuenta que las medidas que te dan en el croquis hay que delinearlas a
escala 1:2, por tanto el diámetro 30 se queda en 15, el de 48 en 24,...
A
B
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
30º
120º
r
s
56 36
20
2. Trazamos la primera tangente indicada que forma 30º con la horizontal, recta r
28
18
30º
r
60º
A
B
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
30º
120º
r
s
56 36
20
3. A continuación, con los datos dados, podemos trazar la recta s
28
18
30º
r
s
60º
120º
A
B
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
A
O2
B
30º
120º
r
s
56 36
20
4. Ahora, se trata de resolver, aplicando potencia, el caso de circunferencias tangentes a
dos rectas r y s, que se cortan, y a la circunferencia de centro B y 36 mm de diámetro.
Se trata de aplicar el procedimiento explicado en la páginas 46 de este documento
(problema de Apolonio RRC).
En primer lugar trazamos una circunferencia auxiliar con su centro E en el mismo eje donde estará
el centro O buscado y que pase por el centro B
18
r
s
120º
E
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
5. Hallamos B´, homólogo de B
18
r
s
120º
A
B
B´
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
6. Aplicamos la dilatación interior a r con distancia d
18
r
r´
d
d
s
120º
A
B
B´
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
7. En la unión de BB´y r´ tenemos Cr, centro radical entre r´,
la circunferencia auxiliar y la circunferencia solución.
18
r
s
120º
A
B
B´
Cr
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
r
r´
Cr
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
8. Trazamos una tangente de Cr a la crcunferencia E, obteniendo así el punto
de tangencia T
18
r
s
120º
A
B
B´
Cr
T
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
r
r´
Cr
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
9. Trazamos el arco CrT, que corta a r´ en T´r
18
r
s
120º
A
B
B´
Cr
T´r
r´
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
T
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
10. El punto obtenido, T´r, es el punto Tr dilatado. Tr es el punto de tangencia de r
con la circunferencia O buscada, que tendrá su centro en el eje vertical en que
situamos la circunferencia auxiliar E
18
r
s
120º
A
P
B
B´
O
Cr
r´
T´r
Tr
TB
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
11. calculamos el punto de tangencia TB uniendo
O con B y trazamos la circunferencia solución
18
r
s
120º
A
P
B
B´
O
Cr
r´
T´r
Tr Ts
TB
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
12. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente
inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48
18
r
s
120º
A
O2
30
30
P
B
B´
O
Cr
r´
T´r
Tr Ts
TB
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
d
dB
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
13. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente
inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48
18
r
s
120º
A
O2
30
30
P
B
B´
O
Cr
r´
T´r
Tr Ts
TB
TA TO
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente
a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia.
36
30
48
R60
170
O1
O2
E
30º
120º
r
s
56 36
20
14. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente
inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48
18
r
s
120º
A
O2
30
30
P
B
B´
O
Cr
r´
T´r
Tr
TA TO
Ts
TB
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C
r
Tc
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓNDT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C
r
Tc
1. Los centros de las circunferencias que buscamos han de pertenecer a la recta CTc
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C
r
Tc
2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C,
una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N
N
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C
r
Tc
2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C,
una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N
T2
O2
N
M
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C
r
Tc
T1
T2
O2
3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2,
son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones
N
M
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C O2
O1
r
Tc
T2
T1
3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2,
son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones
N
M
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la
circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta
C O2
O1
r
Tc
3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2,
son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones
N
M
T2
T1
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
P
r
s
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
r
s
E
P
1.Se traza una circunferencia cualquiera tangente a las rectas r y s. Dicha circunferencia
tendrá su centro E en la bisectriz del ángulo que forman r y s
V
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
r
s
E
P
V
2. Se establecen dos inversiones positivas de diferente potencia y centro V, punto de
intersección de r y s, de modo que la circunferencia inversa de la de centro E en cada una
de estas inversiones sea una de las soluciones. los inversos del punto P dado
en las dos inversiones descritas, pertenecen a E y han de estar alineados con P y con M.
son los puntos P1 y P2
P2
P1
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
r
s
E
P
O2
O1
P2
V
3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E,
son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las
rectas P1E y P2E
P1
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
r
s
E
P
O2
O1
T1
T2
T3
T4
P2
V
3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E,
son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las
rectas P1E y P2E
P1
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s
y que pasen por el punto P
r
s
E
P
O2
O1
P1
P2
V
3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E,
son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las
rectas P1E y P2E
T1
T2
T3
T4
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
14
14
52
40
R18
R35
22
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
14
14
14
52
52
C1
C2
40
R18
R35
22
1. Con los datos que disponemos podemos dibujar la parte izquierda de la corredera,
y las circunferencias de diámetro 40 y 22 de centro C2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
14
14
52
A
N
A´
40
R18
R35
22
2. Se establece una relación de inversión negativa de centro N entre la circunferencia de centro C1
y diámetro 24 y la de centro C2 y diámetro 40. Hay que tener en cuenta que este par de
circunferencias, además de inversas son homotéticas en una homotecia negativa de centro N,
intersección de las rectas C1C2 y AA´.
C1
C2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
14
14
52
Tc
T1
A
N
A´
40
R18
R35
22
3. Se calcula el punto inverso, o antihomotético, de Tc, punto T1, que será el de tangencia de
la circunferencia que se busca con la de centro C2
C1
C2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
14
14
52
Tc
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
4. Conocidos los puntos de tangencia Tc y T1, respectivamente, con las circunferencias de
centros C1 y C2, se calcula el centro O de la circunferencia solución en las rectas C1Tc y C2T1.
C1
C2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
35
35
14
14
52
Tc
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
C1
C2
5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de
centro O.
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
35
35
14
14
52
Tc
T2
O2
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de
centro O.
C1
C2
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
3518
18
35
14
14
52
Tc
T2
O2
O3
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con
la circunferencia de centro O.
C1
C2
T3
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
3518
18
35
14
14
52
Tc
T2
O2
O3
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con
la circunferencia de centro O.
C1
C2
T4
T3
18
DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro,
tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión.
C2
C1
22
24
3518
18
18
35
14
14
52
Tc
T2
T4
T5
T3
O2
O3
T1
A
N
O
A´
40
R18
R35
22
6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con
la circunferencia de centro O.
C1
C2

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TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA E INVERSIÓN. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

  • 1. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO TANGENCIAS PROBLEMAS DE APOLONIO TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 3518 18 18 35 Tc T2 T4 T5 T3 O2 O3 T1 A N O A´ C1 C2
  • 2. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Apolonio de Pérgamo (Pergamo, c. 262 - Alejandría, c. 190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos. También se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas y de la velocidad variable de la Luna. Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra. Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos,
  • 3. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Dado tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados Este problema da lugar a 10 casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular En los siguientes casos nos referiremos al punto, la recta y la circunferencia por sus iniciales: P: punto R: recta C: circunferencia
  • 4. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos A B C
  • 5. A B C 1. Trazamos las mediatrices de los segmentos que forman dos parejas de los puntos dados, en este caso de AB y BC, y obtenemos el punto O PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos O
  • 6. A O B C 2. Si hacemos centro en O y trazamos un arco de radio OA, el arco pasará por los tres puntos A, B y C PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
  • 7. A O B C Este procedimiento también se puede utilizar a la inversa para encontrar el centro desconocido de una circunferencia dada. Se trazan dos secantes y sus mediatrices PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPP Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos
  • 8. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  • 9. Trazamos las bisectrices de los tres ángulos interiores que forman las rectas, obteniendo el INCENTRO de dicho triángulo. Recuerda que el incentro es el centro de la CIRCUNFERENCIA INSCRITA en el triángulo, que es TANGENTE a los lados del mismo PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  • 10. Antes de trazar la circunferencia tenemos que encontrar los puntos de tangencia de las rectas, que se hayan trazando PERPENDICULARES A LAS RECTAS DESDE EL INCENTRO PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  • 11. Una vez calculados los puntos de tangencia, podemos trazar la circunferencia tangente PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  • 12. También hay otras tres soluciones fuera del triángulo PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí
  • 13. Para ello debemos trazar las bisectrices de los ángulos exteriores, que se cortan dos a dos en los centros de las otras tres soluciones PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  • 14. Una vez hallamos los centros, buscamos los puntos de tangencia PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  • 15. Teniendo los puntos de tangencia, podemos trazar las circunferencias. Podemos comprobar que la prolongación de las bisectrices de los ángulos interiores pasan por los centros de las circunferencias tangentes exteriores PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRR Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan entre sí O1 O3 O2
  • 16. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta B A r
  • 17. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta En primer lugar, sabemos que habrá dos circunferencias solución que pasen por los puntos A y B y a su vez sean tangentes a la recta r. También sabemos que los centros de estas dos circunferencias se encontrarán en la mediatriz de AB (ver caso PPP), por tanto lo primero que hacemos es la mediatriz entre A y B B A r
  • 18. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la recta AB, que será el EJE RADICAL DE las dos circunferencias solución. prolongamos la recta AB hasta que corta a la recta r en el punto P B A r P
  • 19. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la circunferencia auxiliar de diámetro AB, para posteriormente calcular los puntos de tangencia desde P a dicha circunferencia B A P r
  • 20. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Calculamos los puntos de tangencia desde P a la circunferencia auxiliar (consultar tangentes de un punto a una circunferencia) B A P T1 T2 M EDIATRIZ r
  • 21. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Trazamos la circunferencia de P a T1 y T2. Esta circunferencia cortará a la recta r en los puntos de tangencia T3 y T4, que son los puntos de tangencia de la recta r con las circunferencias que estamos buscando. B A P T1 T3 T4 T2 r
  • 22. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Desde T3 y T4 trazamos ambas perpendiculares que cortarán a la mediatriz de AB en los puntos O1 y O2, que son los centros de las dos circunferencias solución B P O1 O2 A T1 T3 T4 T2 r
  • 23. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN PPR Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Desde T3 y T4 trazamos ambas perpendiculares que cortarán a la mediatriz de AB en los puntos O1 y O2, que son los centros de las dos circunferencias solución B P O1 O2 A T1 T3 T4 T2 r
  • 24. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas r1 Este ejercicio tiene dos soluciones: 1: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR 2: Por HOMOTECIA P r2
  • 25. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 1. Sabemos que si las circunferencias resultantes han de ser tangentes al ángulo sus centros estarán en la bisectriz del mismo, por tanto trazamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. Si cabe en el papel se prolongan las rectas hasta que corten, si no se aplica cualquiera de los procedimientos que ya conocemos para cuando no se ve el vértice s r A B P r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 26. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 2. Trazamos una perpendicular a la bisectriz desde el punto P P r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 27. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 3. Hallamos el punto simétrico a P respecto a la bisectriz de las dos rectas P A Q r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 28. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 4. Trazamos la circunferencia auxiliar de diámetro PQ. De esta manera vamos a resolver el problema como en el caso anterior de PPR. Nos olvidamos de r1 y resolvemos el problema entre r2, P y Q. (consultar caso anterior PPR) P A Q r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 29. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 5. La recta que pasa por PQA será el eje radical de las circunferencias resultantes. Ahora, trazamos los puntos de tangencia de las tangentes desde el punto A a la circunferencia auxiliar P Q T1 T2 A r2 MEDIATRIZ RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 30. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 6. Trazando el arco At1 conseguimos T3 y T4, puntos de tangencia de las circunferencias que buscamos P Q T1 T3 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 31. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 7. Alzamos dos perpendiculares en r2 desde T3 y T4, que cortarán a la bisectriz en O1 y O2, que serán los centros de las circunferencias soluciónP Q T1 T3 O1 O2 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 32. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1ª SOLUCIÓN: Por POTENCIA, convirtiendo el problema en un problema de PPR r1 r2 8. Calculanos los otros dos puntos de tangencia y trazamos las circunferencias solución P Q T1 T3 O1 O2 T4 T2 A RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 33. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P 1. Trazamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas. DOS CIRCUNFERENCIAS SON SIEMPRE HOMOTÉTICAS Sus centros están alineados con el centro de homotecia y sus radios homotéticos (que se trazan desde las intersecciones de las circunferencias con rectas secantes concurrentes en el centro de homotecia) son paralelos. r1 r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 34. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P 2. Trazamos una circunferencia auxiliar tangente a las dos rectas r1 r2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 35. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P r1 r2 3. Trazamos una recta que pase por el vértice del ángulo y el punto P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 36. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA 4. Dicha recta produce en la circunferencia auxiliar los puntos 1 y 2, desde los cuales trazamos dos radios de dicha circunferencia 1 2 r1 r2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 37. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA O1 O2 r1 r2 5. Desde el punto P trazamos paralelas a los radios trazados en el paso anterior. Estas paralelas cortan a la bisectriz en los centros de las circunferencias solución, O1 y O2 1 2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 38. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA O1 O2 r1 T1 T4 T3 T2 r2 6. Hallamos los puntos de tangencia 1 2 P RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 39. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 2ª SOLUCIÓN: Por HOMOTECIA P O1 O2 r1 r2 7. Trazamos las circunferencias 1 2 T1 T4 T3 T2 RRP Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas
  • 40. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas POR DILATACIÓN Para resolver este problema lo reduciremos a un problema de PRR. Lo haremos DILATANDO el ángulo formado por las rectas y convirtiendo la circunferencia en un punto para encon- trar las dos circunferencias tangentes exteriores a la dada y a las rectas. Posteriormente, CONTRAEREMOS EL ÁNGULO para obtener las dos circunfe- rencias tangentes interiores. Las soluciones las podemos obtener por homotecia o por potencia r1 r2 O
  • 41. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 r O r r 1. Contraemos la circunferencia dada reduciéndola a un punto (su centro) y dilatamos las rectas r1 y r2 trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada. Ahora nos quedamos con el punto O y las nuevas rectas r1' y r2' y resolvemos el problema como si fuera PRR
  • 42. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O 2. Si lo resolvemos por homotecia, lo primero que hacemos es trazar la bisectriz del ángulo y trazar una cir- cunferencia auxiliar que sea tengente a r1' y r2'
  • 43. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O 3. Trazamos la recta que une el vértice del ángulo dilatado con el centro O de la circunferencia dada.
  • 44. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O O1 O2 4. Trazamos los radios de la circunferencia auxiliar que van a la intersección de la recta trazada anteriormente con dicha circunferencia, y posteriormente las paralelas a estos radios por O. Así obtenemos los centros O1 y O2 de las circunferencias tangentes externas a la dada y a las rectas
  • 45. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r1' r2' r2 O O1 T1 T4 T3 T2 O2 5. Trazamos las dos primeras circunferencias solución
  • 46. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas Ahora tenemos que hallar las otras dos circunferencias solución, las tangentes internas. Para ello, comen- zaremos por CONTRAER EL ÁNGULO con la misma distancia del radio de la circunferencia auxiliar r1 r2 O
  • 47. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas r1 r2 r r r 1. Una vez contraído el ángulo con la medida del radio, nos quedamos con un problema de RRP (r1,r2,O), ya que la circunferencia la reducimos a un punto, el centro O O
  • 48. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 2. En este caso, vamos a realizar la solución por potencia/eje radical. Comenzamos por trazar la bisectriz r1 r2 O r1'' r2''
  • 49. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 3. Trazamos una perpendicular de O a la bisectriz r1 r2 O r1'' r2''
  • 50. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 4. Trazamos el simétrico P de O respecto a la bisectriz, y la circun- ferencia auxiliar de diámetro OP r1 r2 O P r1'' r2''
  • 51. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 5. Ahora hallamos los puntos de tangencia del punto Q a la circunferencia auxiliar, A y B r1 r2 O P BA Q r1'' r2''
  • 52. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 6. Trazamos el arco con centro en Q y radio QA o QB, que corta a la recta r2 en los puntos 1 y 2, que serían los puntos de tangencia de las soluciones en caso de que el ángulo dado fuera r1'r2'. r1 r2 O P BA 1 2Q r1'' r2''
  • 53. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 7. Trazamos perpendiculares a r2' en los puntos 1 y 2. De esta forma, obtenemos los centros O3 y O4 de las circunferencia solución en la bisectriz, y los puntos de tangencia T5 y T6 sobre la recta r2 r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T6 r1'' r2''
  • 54. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 8. Calculamos los puntos de tangencia T7 y T8 en r1 y trazamos las dos circunferencias solu- ción que buscábamos r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1'' r2''
  • 55. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas 8. Calculamos los puntos de tangencia T7 y T8 en r1 y trazamos las dos circunferencias solu- ción que buscábamos r1 r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1'' r2''
  • 56. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CRR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a dos rectas Estas serían las cuatro soluciones del problema r1 r1'' r2'' r2 O P BA 1 2Q O3 O4 T5 T7 T8 T6 r1 r1' r2' r2 O O1 T1 T4 T3 T2 O2
  • 57. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia Este problema lo resolveremos por POTENCIA. Hallaremos un eje radical auxiliar que nos ayudará a encontrar el centro radical de la circunferencia del enunciado y las dos de la solución O P Q
  • 58. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 1. Trazamos la recta que pasa por los dos puntos P y Q, y hallamos la mediatriz del segmento que pasa por ambos puntos, ya que sobre esta mediatriz estarán los centros de las soluciones O P Q
  • 59. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 2. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz de PQ y que pase por ambos puntos O P Q
  • 60. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 3. Trazamos el eje radical entre la circunferencia dada y la auxiliar, que corta a la recta que pasa por P y Q en el centro radical Cr de las circunferencias solución con la dada O P Cr Q
  • 61. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 4. Hallamos los puntos de tangencia T1 y T2 de las rectas tangentes exteriores desde Cr a la circungferen- cia dada O. Estos puntos serán los puntos de tangencia de las soluciones finales. O P T1 Cr Q T2
  • 62. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 5. Unimos T1 y T2 con el centro O de la circunferencia dada, y ambas rectas cortarán a la mediatriz de PQ en O1 y O2, centros de las circunferencias solución. O O1 P T1 Cr Q T2 O2
  • 63. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia 6. Trazamos las circunferencias solución O O1 O2 P T1 Cr Q T2
  • 64. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia Si el problema tuviera uno de los puntos en la circunferencia la solución hubiera sido más fácil y rápida de ejecutar O Q P
  • 65. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia La solución sería una única circun- ferencia que tendría su centro en la intersección de la mediatriz que une los dos puntos con la recta que une el centro de la circunferencia y el punto que está en la misma (Q) O O1 Q P
  • 66. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPP Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia La solución sería una única circun- ferencia que tendría su centro en la intersección de la mediatriz que une los dos puntos con la recta que une el centro de la circunferencia y el punto que está en la misma (Q) O O1 P Q
  • 67. r PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas Aunque se puede resolver por otros métodos, aquí se va a desarrollar mediante INVERSIÓN. De las cuatro circunferencias solución, primero haremos dos mediante una inversión positiva, y luego las otras dos por una inversión negativa O O O P P P
  • 68. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.1. Trazamos una perpendicular a la recta dada que pase por el centro de la circunferencia. Situamos en el extremo superior el centro de inversión O1, siendo el otro extremo del diámetro el punto A, y A’, situado en la recta, su inverso. De esta forma, hemos convertido la recta r en la inversa de la circunferencia O A’ A O1 r P
  • 69. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.2. Hallamos el inverso de P. Para ello, trazamos una circunferencia auxiliar O2 que pase por A, A’ y por P, por lo tanto tendrá centro en las mediatrices de AP y AA’ O A’ A O1 r P
  • 70. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.3. Trazamos la recta OP, que cortará a la circunferencia auxiliar en P’, inverso de P O P’ P A’ A O1 r
  • 71. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.4. A partir de ahora el problema se convierte en PPR. PP’ es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada r en Cr O P’ P CrA’ A O1 r
  • 72. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.5. A continuación, necesitamos una circunferencia auxiliar que pase por P y P’. Como ya tenemos la circunferencia auxiliar trazada anterior- mente podemos utilizarla. Desde Cr hallamos los puntos de tangencia 1 y 2 de las rectas tangen- tes a dicha circunferencia auxiliar O P’ 1 2 P CrA’ A O1 r
  • 73. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.6. Trazamos el arco con centro en Cr y radio Cr1 o Cr2. Así obtenemos los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las dos circunferencias tangentes que buscamos. O P’ 1 2 P Cr T2T1 A’ A O1 r
  • 74. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.7. Ahora que tenemos T1 y T2 volvemos al problema inicial y a sacar los puntos inversos de T1 y T2 respecto de la circunferencia dada. Para ello unimos T1 y T2 con O1, y donde ambas rectas corten a la circunferencia dada tendremos T3 y T4 O P’ 1 2 P Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  • 75. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.8. Teniendo los puntos de tangen- cia y el punto P, calculamos los cen- tros de las circunferencias solución. Donde se corten las mediatrices de T3T1 y T3P tendremos un centro (O2), y donde se corten las mediatri- ces de T4P y T2P tendremos el otro (O3) O P’ 1 2 PO2 O3 Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  • 76. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 1.INVERSIÓN POSITIVA. K 0 1.9.Trazamos las circunferencias O P’ 1 2 PO2 O3 Cr T2T1 T3 T4 A’ A O1 r
  • 77. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 Ahora, mediante una inversión negativa, trazaremos las dos circunferencias solución que nos quedan 2.1. En primer lugar, trazamos una perpendicular a r que pase por el centro de la circunferencia. Con esto ontendremos el centro de inversión O’, el punto A y su inverso A’. Así, la recta r es la inversa de la circunferencia dada. r A’ O’ A O P
  • 78. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.2. Hallamos el inverso de P. Para ello, en primer lugar trazamos una circunferencia auxiliar que pase por AA’P. La trazamos con centro en la intersección de las mediatrices de AP y PA’. P
  • 79. P’ Cr PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.2. Hallamos el inverso de P. En segundo lugar, trazamos la recta PO’, que cortará a la circunferencia auxiliar en P’, inverso de P. A partir de ahora el problema se convierte en PP’R. PP’ es el eje radical auxiliar que corta a la recta r en el centro radical auxiliar Cr PPP
  • 80. P’ Cr 1 2 PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.3. Necesitamos una circunferencia auxiliar que pase por PP’, pero ya la tenemos. Hallamos los puntos de tangencia 1 y 2 de las rectas tangentes desde Cr hasta la circunferencia auxiliar. P
  • 81. P’ Cr 1 2 PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r A’ O’ A O 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.4. Trazamos el arco Cr1 o Cr2, que cortará a la recta r en los puntos T5 y T6, puntos de tangencia de las dos circunferencias que estamos buscando P T5 T6
  • 82. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.5. Ahora regresamos al problema inicial para aprovechar la inversión y calcular los inversos de T5 y T6 sobre la circunferencia dada. Alineamos T5 y T6 con O’, y donde estas líneas cortan a la circunferencia dada tenemos los puntos de tangencia T7 y T8 P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T6 T6
  • 83. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas r 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.6. Alineando los puntos de tangencia T7 y T8 con el centro de la circunferencia dada y trazando per- pendiculares a r por los puntos T5 y T6 ha- llamos los centros de las circunferencias solución (O4 y O5) P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5
  • 84. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas 2. INVERSIÓN NEGATIVA. K 0 2.6. Alineando los puntos de tangencia T7 y T8 con el centro de la circunferencia dada y trazando per- pendiculares a r por los puntos T5 y T6 ha- llamos los centros de las circunferencias solución (O4 y O5) r P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5
  • 85. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, que pasan por un punto exterior a ambas Estas serían las cuatro soluciones r P’ Cr 1 2 r A’ O’ A O P T5 T6 T7 T8 O4 O5 O2 O3 T3 T4
  • 86. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR INVERSIÓN Cuando el punto de tangencia está sobre la recta, el problema se simplifica mucho. Ahora el punto inverso se encontrará sobre su transformada (recta o circunferencia) lo cual hace posible resolverlo con pocos trazados T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 87. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1. El problema tendrá dos soluciones, y ambas se encontrarán sobre una perpendicular a la recta dada que salga del punto T de tangencia. O T CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 88. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Ahora tenemos que aplicar dos inversiones: Una INVERSIÓN POSITIVA para conseguir la circunferencia tangente exterior, y una INVERSIÓN NEGATIVA para conseguir la circunferencia tangente interior. 2. Comenzamos por la INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el centro de inversión (O1) en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta O O1 T CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 89. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 3. Trazamos la recta OT y así obtene- mos T’, inverso de T. O O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 90. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 4. Uniendo O con T’ obtenemos O2, centro de la primera circunferencia solución, en la intersección de dicha recta con la perpendicular en T O O2 O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 91. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 5. Con radio O2T trazamos la primera solución O O2 O1 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 92. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 6. Ahora hacemos la INVERSIÓN NE- GATIVA para hallar la circunferencia tangente interna. En primer lugar situamos el centro de inversión O3 en el extremo inferior del diámetro perpendicular a la recta. O O2 O1 O3 T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 93. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 7. Uniendo T con O3 cortamos la circunferencia en el punto T’’, inverso de T y punto de tangencia de la circunferencia solución O O2 O1 O3 T’’ T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 94. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 8. Uniendo T’’ con O cortaremos la perpendicular de T en O4, centro de la circunferencia que buscamos O O2 O4 O1 O3 T’’ T T’ CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR INVERSIÓN
  • 95. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta 9. Con radio O4T trazamos la segunda circunferencia solución O O2 O4 O1 O3 T’’ T T’ r POR INVERSIÓN
  • 96. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 1. La perpendicular por el punto T dado a la recta contiene los centros de todas las circunferen- cias tangentes a la recta por el punto dado T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  • 97. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 2. Trazamos una circunferencia auxiliar con centro en la perpendicular a r y que pase por T T O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  • 98. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 3. Trazamos el eje radical de ambas circunferencias, obteniendo sobre r un centro radical auxiliar Cr. T Cr O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  • 99. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 4. hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circun- ferencia dada desde Cr T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  • 100. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 5. Trazamos el arco con centro en Cr y radio CrT1 o CrT2 T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA
  • 101. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos los centros de las circunferencias solución sobre la perpendicular tra- zada desde el punto T a la recta r T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA O4 O2
  • 102. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN POR POTENCIA 6. Uniendo O con T1 y T2, obtenemos los centros de las circunferencias solución sobre la perpendicular tra- zada desde el punto T a la recta r T T Cr T1 T2 O CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta, conociendo el punto de tangencia en dicha recta r POR POTENCIA O4 O2
  • 103. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 8. Con radio O4T trazamos la segunda circunferencia solución Igual que en el caso anterior, aplicaremos dos inversiones: Una INVERSIÓN POSITIVA para conseguir la circunferencia tangente exterior, y una INVERSIÓN NEGATIVA para conseguir la circunferencia tangente interior. O T r
  • 104. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 1. Comenzamos por la INVERSIÓN POSITIVA: Situamos el centro de inversión (O1) en el extremo superior del diámetro perpendicular a la recta O O1 T r
  • 105. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 2. Trazamos la recta O1T hasta cortar la recta r en el punto T’, inverso de T y punto de tangencia de una solución O O1 T T’ r
  • 106. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 3. Levantamos la perpendicular a r desde T’, porque sabemos que en esa recta estará el centro de una de las soluciones O O1 T T’ r
  • 107. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 4. Uniendo O con T cortamos la perpen- dicular en O2, centro de la primera solución O O1 T T’ O2 r
  • 108. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 5. Trazamos la circunferencia O O1 T T’ O2 r
  • 109. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 6. Para la Segunda solución, hacemos una INVERSIÓN NEGATIVA. Situamos el centro de inversión (O3) en el extremo inferior del diámetro perpendicular a la recta. O O1 O3 T T’ O2 r
  • 110. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 7. Uniendo T con O3 obtenemos T’’, inver- so de T en la recta r, y punto de tangencia de la solución que buscamos. O O1 O3 T T’ T’’ O2 r
  • 111. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 8. trazamos la perpendicular en T’’ O O1 O3 T T’ T’’ O2 r
  • 112. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 9. Prolongamos la recta TO hasta cortar en la perpendicular anterior, y ya tenemos el centro O4, centro de la solución que queremos O O1 O3 T T’ T’’ O2 O4 r
  • 113. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia 10. Trazamos la circunferencia. O O1 O3 T T’ T’’ O2 O4 r
  • 114. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 1. Trazamos la recta que pasa por, O y T, ya que en ella estarán los centros de las soluciones
  • 115. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 2. Trazamos una perpendicular a la recta anterior. Esta recta es un eje radical que corta a la recta dada en Cr Cr
  • 116. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 3. Con centro en Cr y radio CrT, trazamos un arco que corta la recta en T1 y T2, que serán los puntos de tangencia de las soluciones sobre la recta CrT1 T2
  • 117. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia O T r POR POTENCIA 4. Levantamos dos perpendiculares, una en T1 y otra en T2, que cortarán a la recta que une O-T en O1 y O2, centros de las soluciones CrT1 T2 O2 O4
  • 118. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O T r 4. Levantamos dos perpendiculares, una en T1 y otra en T2, que cortarán a la recta que une O-T en O1 y O2, centros de las soluciones CrT1 T2 O2 O4 CPR Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una rdicha recta, conociendo el punto de tangencia en la circunferencia POR POTENCIA
  • 119. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Este problemas se soluciona por INVERSIÓN. CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas O1 O2 P Las soluciones serán dos circunferencias tangentes, una exterior y otra interior
  • 120. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN 1. Unimos los centros de ambas circunferencias CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas O1 O2 P
  • 121. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 B’ 2. Buscamos en dicha recta el centro de inversión positi- va O,que coincide con el cen- tro de homotecia directa (que se obtiene trazando dos radios homotéticos que son paralelos y trazando la recta que une los puntos homotéticos de ambas circunferencias CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas A’ P A
  • 122. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 3. Hallamos el inverso de P. Para ello, trazamos una circun- ferencia auxiliar que pase por A,A’,P (el centro lo calcula- mos con las mediatrices de A’A y AP) CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P A
  • 123. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 3. Hallamos el inverso de P. Una vez hemos trazado la cir- cunferencia auxiliar, unimos P con el centro de inversión O y obtenemos P’, inverso de P CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ A
  • 124. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 4. Ahora el problema se puede resolver como si fuera CPP’. OPP’ será el eje radical de las soluciones. Trazando una circunferencia que pase por P y P’ y sea secante a la circunferencia dada (por ejemplo, la que hemos trazado anterior- mente valdría) obtenemos otro eje radical auxiliar que en su intersección con el eje radical anterior nos da el centro radical de las soluciones. CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr A
  • 125. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 5. A partir de Cr hallamos los puntos de tangencia T1 y T2de las rectas tangentes a una de las dos circunferencias dadas. T1 y T2 serán puntos de tangencia de las soluciones que buscamos CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr A T1 T2
  • 126. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN O1O O2 A’B’ 6. Ahora volvemos al problema inicial para obtener, por inversión, los restantes puntos de tangencia (con la otra cir- cunferencia). Primero alineamos T1 y T2 con el centro de inversión O, y obtenemos los puntos de tangencia T3 y T4 al cortar a la otra circunferencia CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T4 A T1 T2 T3
  • 127. O1O O2 O4 A’B’ 7. Alineando T1 y T2 con O2 (o T3 y T4 con O1) obtene mos los centros que buscamos O3 y O4 en la intersección que ambas rectas hacen con la mediatriz de P y P’ . En este caso el centro O3 se saldría del formato utilizado. Quedaría así: PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T1 T2 T4 A T3 O3 O1O O2 O4 A’B’ P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O3 O3 O3 O3
  • 128. O1O O2 A’B’ P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O1O O2 O4 A’B’ 8. Teniendo los centros, trazamos las circunferencias tangentes. En este caso el centro O3 se saldría del formato utilizado. Quedaría así: PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasan por un punto exterior a ellas P P’ Cr T1 T2 T3 T4 A O3 O3 O3 O3 O3 O4
  • 129. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas Aplicaremos INVERSIÓN POSITIVA para la circunferencia externa e INVERSIÓN NEGATIVA para la circunferencia iunterna POR INVERSIÓN O2 T O1
  • 130. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 1. En primer lugar, trazamos las rectas que unen O1T y O1O2 POR INVERSIÓN O2 T O1
  • 131. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 2. Hallamos T’ mediante una inversión positiva de centro O (centro de homotecia directa) O2 T T’ O1 O POR INVERSIÓN
  • 132. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencia tangente a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 3. Uniendo O2 con T’ obtenemos O3, centro de la primera solución que buscamos O2 T T’ O1 O3 O POR INVERSIÓN
  • 133. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas O2 T O1 POR POTENCIA
  • 134. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 1. Unimos O con T y trazamos una perpendicular a O1 en el punto T O2 T O1 POR POTENCIA
  • 135. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 2. trazamos una circunferencia auxiliar que tenga el centro en la prolongación de O1T y sea tangente a O O1 en T e interseccione con O2 O2 T O1 POR POTENCIA
  • 136. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 3. Hallamos el eje radical entre la auxiliar y O2, que al interseccionar con el eje radical trazado en T, nos dará el centro radical Cr de las circunferencias solución O2 T O1 POR POTENCIA Cr T1 T2
  • 137. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas 4.Hallamos los puntos de tangencia entre Cr y O2, y luego trazamos el arco con centro en Cr que cortará a la circunferencia O2 en T1 y T2 O2 T O1 POR POTENCIA Cr T1 T2
  • 138. PROBLEMAS DE APOLONIO DT II . TANGENCIAS. PROBLEMAS DE APOLONIO/ TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN CCP Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el punto de tangencia en una de ellas O2 T O1 O3 POR POTENCIA Cr T1 T2 5. Uniendo O1 y O2 con los puntos de tangencia, obtendremos los centros que buscamos. En este caso, uno de los centros se nos va bastante lejos de los límites del papel O2 T O1 O3 O4 Cr T1 T2
  • 139. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q C Q P DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 140. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 1. Dibujamos una circunferencia de centro E, secante a la circunferencia C y que pase por P y Q. Dicha circunferencia corta a la dada en los puntos A y B C E B A Q P D.T. 2º Bach. TANGENCIAS APLICANDO POTENCIA 1DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 141. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 2. Calculamos Cr, centro radical de todas las circunferencias que pasan por P y por Q, entre las que estarán las soluciones, y la dada de centro C C E Q P B A Cr DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 142. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 3. Desde Cr se trazan las rectas tangentes a la circunferencia de centro C, y los puntos de tangencia T1 y T2 son, también, los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la dada C E Cr T2 T1 Q P B A DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 143. Trazar las circunferencias tangentes a la de centro C que pasen por P y Q 4. Los centros de las soluciones O1 y O2 se encuentran donde las rectas T1C y T2C cortan a la mediatriz del segmento PQ C E Cr T2 O1 O2 T1 Q P B A DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 144. C Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 145. C Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 1. Los centros de las circunferencias solución pertenecen a la perpendicular por Tr a la recta r DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 146. C E A B Tr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 2. Se traza una circunferencia auxiliar de centro E, tangente a r en Tr. Dicha circunferencia cortará a la dada en dos puntos A y B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 147. C E A B Tr Cr r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 3. Con ayuda de E, calculamos el centro radical Cr del haz de circunferencias tangentes a r en T1, y de la de centro C dada. Cr debe pertenecer a r DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 148. C E A B Tr CrT1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 4. Una vez tenemos Cr, trazamos las tangentes a la circunferencia C y obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2 DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 149. C E A B Tr Cr O2 O1 T1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 150. C E A B Tr Cr O2 O1 T1 T2 r Aplicando potencia, trazar las circunferencias tangentes a la de centro C y a la recta r, siendo Tr el punto de tangencia de esta 5. Uniendo T1 y T2 con C, obtenemos dos líneas que cortan a la perpendicular que trazamos por Tr en O1 y O2, soluciones del problema DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 151. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 30º 120º r s 56 36 20 DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 152. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 28 85 36 20 1. Posicionamos los centros A y B de las dos circunferencias iniciales. ten en cuenta que las medidas que te dan en el croquis hay que delinearlas a escala 1:2, por tanto el diámetro 30 se queda en 15, el de 48 en 24,... A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 153. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 36 20 2. Trazamos la primera tangente indicada que forma 30º con la horizontal, recta r 28 18 30º r 60º A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 154. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 30º 120º r s 56 36 20 3. A continuación, con los datos dados, podemos trazar la recta s 28 18 30º r s 60º 120º A B DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 155. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 A O2 B 30º 120º r s 56 36 20 4. Ahora, se trata de resolver, aplicando potencia, el caso de circunferencias tangentes a dos rectas r y s, que se cortan, y a la circunferencia de centro B y 36 mm de diámetro. Se trata de aplicar el procedimiento explicado en la páginas 46 de este documento (problema de Apolonio RRC). En primer lugar trazamos una circunferencia auxiliar con su centro E en el mismo eje donde estará el centro O buscado y que pase por el centro B 18 r s 120º E DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 156. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 5. Hallamos B´, homólogo de B 18 r s 120º A B B´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 157. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 6. Aplicamos la dilatación interior a r con distancia d 18 r r´ d d s 120º A B B´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 158. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 7. En la unión de BB´y r´ tenemos Cr, centro radical entre r´, la circunferencia auxiliar y la circunferencia solución. 18 r s 120º A B B´ Cr DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN r r´ Cr d dB
  • 159. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 8. Trazamos una tangente de Cr a la crcunferencia E, obteniendo así el punto de tangencia T 18 r s 120º A B B´ Cr T DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN r r´ Cr d dB
  • 160. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 9. Trazamos el arco CrT, que corta a r´ en T´r 18 r s 120º A B B´ Cr T´r r´ DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN T d dB
  • 161. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 10. El punto obtenido, T´r, es el punto Tr dilatado. Tr es el punto de tangencia de r con la circunferencia O buscada, que tendrá su centro en el eje vertical en que situamos la circunferencia auxiliar E 18 r s 120º A P B B´ O Cr r´ T´r Tr TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  • 162. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 11. calculamos el punto de tangencia TB uniendo O con B y trazamos la circunferencia solución 18 r s 120º A P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  • 163. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 12. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN d dB
  • 164. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 13. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr Ts TB TA TO DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 165. Delinear a escala 1:2 la pieza industrial adjunta. la determinación de la circunferencia tangente a las rectas r y s y a la circunferencia de diámetro 36 debe hacerse aplicando potencia. 36 30 48 R60 170 O1 O2 E 30º 120º r s 56 36 20 14. Para completar el dibujo, trazamos el arco de radio 60 (serán 30 a escala 1:2) tangente inferior a la circunferencia O anteriormente calculada y a la de centro A y radio 48 18 r s 120º A O2 30 30 P B B´ O Cr r´ T´r Tr TA TO Ts TB DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN
  • 166. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc
  • 167. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓNDT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 1. Los centros de las circunferencias que buscamos han de pertenecer a la recta CTc
  • 168. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C, una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N N
  • 169. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc 2. Se establecen dos relaciones de inversión entre la recta r y la circunferencia de centro C, una positiva, de centro M, y otra negativa, de centro N T2 O2 N M
  • 170. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C r Tc T1 T2 O2 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M
  • 171. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C O2 O1 r Tc T2 T1 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M
  • 172. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia de centro C siendo Tc el punto de tangencia de ésta C O2 O1 r Tc 3. Los puntos inversos de Tc en ambas inversiones, T1 y T2, son los puntos de tangencia con r de las dos soluciones N M T2 T1
  • 173. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P P r s
  • 174. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P 1.Se traza una circunferencia cualquiera tangente a las rectas r y s. Dicha circunferencia tendrá su centro E en la bisectriz del ángulo que forman r y s V
  • 175. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P V 2. Se establecen dos inversiones positivas de diferente potencia y centro V, punto de intersección de r y s, de modo que la circunferencia inversa de la de centro E en cada una de estas inversiones sea una de las soluciones. los inversos del punto P dado en las dos inversiones descritas, pertenecen a E y han de estar alineados con P y con M. son los puntos P1 y P2 P2 P1
  • 176. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E P1
  • 177. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 T1 T2 T3 T4 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E P1
  • 178. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Aplicando inversión, trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P r s E P O2 O1 P1 P2 V 3. Sabiendo que las circunferencias solución, además de inversas de la de centro E, son homotéticas de ésta, se determinan sus centros O1 y O2 trazando paralelas por P a las rectas P1E y P2E T1 T2 T3 T4
  • 179. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 40 R18 R35 22
  • 180. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 14 52 52 C1 C2 40 R18 R35 22 1. Con los datos que disponemos podemos dibujar la parte izquierda de la corredera, y las circunferencias de diámetro 40 y 22 de centro C2
  • 181. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 A N A´ 40 R18 R35 22 2. Se establece una relación de inversión negativa de centro N entre la circunferencia de centro C1 y diámetro 24 y la de centro C2 y diámetro 40. Hay que tener en cuenta que este par de circunferencias, además de inversas son homotéticas en una homotecia negativa de centro N, intersección de las rectas C1C2 y AA´. C1 C2
  • 182. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 Tc T1 A N A´ 40 R18 R35 22 3. Se calcula el punto inverso, o antihomotético, de Tc, punto T1, que será el de tangencia de la circunferencia que se busca con la de centro C2 C1 C2
  • 183. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 14 14 52 Tc T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 4. Conocidos los puntos de tangencia Tc y T1, respectivamente, con las circunferencias de centros C1 y C2, se calcula el centro O de la circunferencia solución en las rectas C1Tc y C2T1. C1 C2
  • 184. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 35 35 14 14 52 Tc T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 C1 C2 5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de centro O.
  • 185. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 35 35 14 14 52 Tc T2 O2 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 5. Trazamos el arco (radio 35) de unión de la recta horizontal superior y de la circunferencia de centro O. C1 C2
  • 186. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 35 14 14 52 Tc T2 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2 T3
  • 187. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 35 14 14 52 Tc T2 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2 T4 T3 18
  • 188. DT II T5. TANGENCIAS. TANGENCIAS COMO APLICACIÓN DE LOS CONCENTOS DE POTENCIA E INVERSIÓN Delinear a escala 1:1 la pieza industrial adjunta. La determinación de la circunferencia de mayor diámetro, tangente a las de centros C1 y C2 debe hacerse aplicando inversión. C2 C1 22 24 3518 18 18 35 14 14 52 Tc T2 T4 T5 T3 O2 O3 T1 A N O A´ 40 R18 R35 22 6. Sólo falta trazar el arco (radio 18) de unión de la semicircunferencia de centro C1 con la circunferencia de centro O. C1 C2